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que fait sa direction avec les trois axes, cosinus liés entre eux par la relation

$t^{2}+u^{2}+v^{2}=1.\qquad$(3)

L’équation deviendra ainsi

$r^{m}\operatorname {f} _{m}(t,u,v)+r^{m-1}\operatorname {f} _{m-1}(t,u,v)+\ldots$

$+r^{2}\operatorname {f} _{2}(t,u,v)+r\operatorname {f} _{1}(t,u,v)+1=0,\qquad$(4)

et donnera $m$ valeurs pour le rayon vecteur, à chaque direction qu’on voudra lui faire prendre ; ce qui prouverait, s’il en était besoin, qu’une surface du m^ième ordre ne saurait couper une droite en plus de $m$ points ; et que conséquemment toute surface qui coupe une droite en $m$ points est du m^ième ordre au moins.

Pour que le rayon vecteur soit tangent à cette surface, il faut que l’équation (4) donne tout au moins deux valeurs égales pour $r,$ et que conséquemment la dérivée de son premier membre, prise par rapport à cette lettre, soit nulle ; ce qui donne

$mr^{m-1}\operatorname {f} _{m}(t,u,v)+(m-1)r^{m-2}\operatorname {f} _{m-2}(t,u,v)+\ldots$

$+2r\operatorname {f} _{2}(t,u,v)+\operatorname {f} _{1}(t,u,v)=0\,;\qquad$(5)

équation qui, pour les points de contact des tangentes issues de l’origine, doit avoir lieu en même temps que l’équation (4), et qui, jointe à elle, en ayant égard à la relation (3), servirait à les déterminer tous ; c’est-à-dire, que l’équation (5) est l’équation polaire d’une surface courbe qui coupe la proposée suivant ses lignes de contact avec la surface conique circonscrite qui aurait son sommet à l’origine.

Mais, quand des lignes sont données dans l’espace par deux surfaces dont elles sont l’intersection, on peut toujours, dans la recherche de ces mêmes lignes, remplacer l’une d’elles par une autre surface dont l’équation serait une combinaison quelconque des leurs. Or, en prenant la somme des produits respectifs des équations (4) et (5) par $m$ et $-r,$ il vient, en réduisant,