et donnera valeurs pour le rayon vecteur, à chaque direction qu’on voudra lui faire prendre ; ce qui prouverait, s’il en était besoin, qu’une ligne du mième ordre ne saurait couper une droite en plus de points ; et que conséquemment toute courbe qui coupe une droite en points est une ligne du mième ordre au moins.
Pour que le rayon vecteur soit tangent à la courbe, il faut que l’équation (4) donne tout au moins deux valeurs égales pour , et que conséquemment la dérivée de son premier membre ; prise par rapport à cette lettre, soit nulle ; ce qui donne
équation qui, pour les points de contact des tangentes issues de l’origine, doit avoir lieu en même temps que l’équation (4), et qui, jointe à elle, en ayant égard à la relation (3), servirait à les déterminer tous ; c’est-à-dire, que l’équation (5) est l’équation polaire d’une courbe qui coupe la proposée en ses points de contact.
Mais, quand un système de points est donné par deux courbes dont ces points sont les intersections, on peut toujours, dans la recherche de ces mêmes points, remplacer l’une d’elles par une autre courbe, dont l’équation serait une combinaison quelconque des leurs. Or, en prenant la somme des produits respectifs des équations (4) et (5), par et il vient, en réduisant,
de sorte que c’est là l’équation polaire d’une courbe qui, comme celle qui est donnée par l’équation (5), coupe la proposée en ses points de contact avec les tangentes menées à cette dernière par l’origine.
