deux droites qu’elle exprime alors. En faisant en effet évanouir les radicaux, et ; n’y entrent plus qu’au quarré, de sorte qu’elle reste la même en changeant le signe de ou de ; ce qui prouve qu’elle appartient alors au rayon réfracté et à une autre droite passant comme lui par le point d’incidence et symétriquement située avec lui par rapport à la normale au cercle en ce point.
Ces considérations nous paraissent expliquer clairement comment il arrive que les caustiques par réfraction ont des branches physiquement inutiles, que M. de St-Laurent appelle branches obscures, par opposition aux branches utiles qu’il appelle lumineuses. Il est clair qu’il doit en être ainsi toutes les fois que l’équation de la caustique ne renferme que des puissances paires de et ; et c’est ce qu’on remarque, en particulier, pour la caustique par réfraction relative à la ligne droite (Annales, tom. XI, pag. 236 et 251). Il arrive bien quelque chose d’analogue pour les caustiques par réflexions, du moins lorsque leurs équations sont rendues rationnelles ; mais alors la branche obscure se réduit au point rayonnant lui-même, de l’expression duquel on peut toujours débarrasser l’équation. Ces réflexions montrent au surplus toute l’importance du conseil que donne M. Poncelet (Annales, tom. VIII ; pag. 282) de bien étudier, dans chaque problème, les équations de départ, afin de se mettre en état d’interpréter exactement les résultats qu’on en obtient.
Si présentement nous rendons aux coordonnées et du point d’incidence leur variabilité, l’équation (2) appartiendra à tous les rayons réfractés ; et, pour obtenir l’équation de leur courbe enveloppe, c’est-à-dire, de la caustique, il faudra, suivant les théories connues (Annales, tom. III, pag. 361), 1.o différentier les équations (1) et (2)., par rapport à et seulement ; 2.o éliminer entre leurs différentielles le rapport de à ; 3.o enfin, éliminer et entre l’équation résultante et ces mêmes équations (1) et (2).
