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$\operatorname {Cos} .x={\frac {ar}{2R}},\quad \operatorname {Cos} .y={\frac {br}{2R}},\quad \operatorname {Cos} .z={\frac {cr}{2R}},\qquad$(4)

expressions facile à construire.

Telle est la manière la plus naturelle de résoudre le problème, et telles sont aussi les formules qui ont été données en premier lieu par M. de St-Laurent ; mais il remarque ensuite qu’en désignant par $\alpha ,\beta ,\gamma$ les angles du triangle respectivement opposés à $a,b,c,$ on doit avoir

${\frac {\operatorname {Sin} .\alpha }{a}}={\frac {\operatorname {Sin} .\beta }{b}}={\frac {\operatorname {Sin} .\gamma }{c}},$

et par suite (2)

${\frac {\operatorname {Cos} .x}{\operatorname {Sin} .\alpha }}={\frac {\operatorname {Cos} .y}{\operatorname {Sin} .\beta }}={\frac {\operatorname {Cos} .z}{\operatorname {Sin} .\gamma }}\,;$

équation à laquelle on satisfait en prenant pour $x,y,z$ les complémens respectifs de $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ puisqu’alors la somme des trois premiers arcs vaut un quart de circonférence et la somme des trois derniers une demi-circonférence, comme cela doit être.

Les trois arcs cherchés sont donc les arcs décrits du rayon donné entre les côtés des complémens des angles du triangle formé par les trois droites données, et des sommets de ces complémens comme centres. Cette construction peut d’ailleurs se justifier à priori, et c’est aussi de cette manière qu’elle a été présentée par M. Roche.

Comme les arcs semblables de différens cercles ont leurs cosinus proportionnels, si l’on parvient à construire, pour un rayon quelconque, trois arcs dont les cosinus soient dans le rapport des trois longueurs données et dont la somme soit un quart de circonférence, il sera facile ensuite de construire de tels arcs pour le rayon donné.

Or, si l’on veut que les cosinus des trois arcs soient les longueurs