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trouver à la fois ; cette résultante sera donc dirigée suivant leur intersection, diagonale du parallélipipède, laquelle est aussi diagonale du rectangle des deux forces $P$ et ${\sqrt {P^{2}+M^{2}}}$ ; il est donc prouvé que la proposition sera vraie pour deux telles forces rectangulaires, si elle l’est pour les forces rectangulaires $P$ et $M.$

En posant $M=P{\sqrt {k}}$ et substituant, on conclura de là que, si la proposition est vraie pour deux forces rectangulaires $P$ et $P{\sqrt {k}},$ elle le sera aussi pour les deux forces $P$ et $P{\sqrt {k+1}},$ quel que soit le nombre entier $k$. Or, la proposition est vraie (8) pour les deux forces $P$ et $P{\sqrt {1}},$ puisque ce sont des forces égales ; donc elle sera vraie aussi pour les forces rectangulaires $P$ et $P{\sqrt {2}},\ P$ et $P{\sqrt {3}},\ P$ et $P{\sqrt {4}},\ldots \ P$ et $P{\sqrt {k}}$ ; et comme $k$ est ici quelconque, en posant $k=m^{2},$ il demeurera prouvé que la proposition est vraie pour deux forces rectangulaires multiples l’une de l’autre $P$ et $mP$, et il en serait évidemment de même pour deux forces rectangulaires $P$ et $nP,$ quels que pussent être les nombres entiers $m$ et $n$.

Prouvons encore que, si la proposition est vraie pour deux forces rectangulaires $P$ et $M,$ et pour deux autres forces rectangulaires $P$ et $N,$ elle le sera également pour les deux forces rectangulaires $M$ et $N.$

En effet, soient trois forces $P,M,N$ agissant sur un même sommet d’un parallélipipède rectangle, et dirigées suivant les arêtes de ce parallélipipède, que nous supposons les représenter en intensité. Pour en obtenir la résultante, on pourra d’abord chercher la résultante ${\sqrt {P^{2}+N^{2}}}$ des deux forces $P$ et $N,$ laquelle, par hypothèse, sera dirigée suivant la diagonale de la face qui contient les deux composantes, et composer ensuite cette résultante avec $N$ ; ou bien on pourra chercher d’abord la résultante ${\sqrt {P^{2}+N^{2}}}$ des deux forces $P$ et $N,$ laquelle, par hypothèse, sera dirigée suivant la diagonale de la face qui contient les deux composantes, et composer ensuite cette résultante avec $M.$

Il suit de là que la résultante des trois forces se trouvera à la fois située dans le plan qui contient la diagonale ${\sqrt {P^{2}+N^{2}}}$ et l’arête