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au lieu des deux forces $P$ et $Q,$ quatre autres forces dont $R$ devra toujours être la résultante.

Mais, de ces quatre forces, deux sont égales et directement opposées, tandis que les deux autres agissent dans le sens de $R$ ; donc $R$ doit être simplement égale à la somme de ces deux dernières, c’est-à-dire, qu’on doit avoir

$R={\frac {P^{2}}{R}}+{\frac {Q^{2}}{R}},$ ou $R^{2}=P^{2}+Q^{2},$ ou enfin $R={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}\,;$

ce qui démontre la première partie de la proposition.

Cette démonstration est au fond celle de la mécanique céleste, que M. Cauchy n’a fait simplement que rendre indépendante du calcul différentiel qui, comme l’on voit, y avait été introduit bien gratuitement.

2.^o Prouvons présentement que la diagonale du rectangle des forces, qui déjà représente la résultante en intensité, la représente aussi en direction.

Prouvons d’abord que, si cette proposition était reconnue vraie pour deux forces $P$ et $M,$ elle le serait également pour deux autres forces $P$ et ${\sqrt {P^{2}+M^{2}}}.$

Pour le démontrer, concevons trois forces $P,P,M$ dirigées suivant les trois arêtes d’un même angle d’un parallélipipède rectangle. Pour en avoir la résultante, il faudra d’abord déterminer la résultante de deux quelconques d’entre elles, puis la résultante de cette résultante et de la troisième. Or, par l’hypothèse, la résultante ${\sqrt {P^{2}+M^{2}}},$ de $M$ et de l’une des deux forces $P,$ est dirigée suivant la diagonale de la face qui contient les deux composantes ; d’où il suit (8) que la résultante des trois forces sera dans le plan qui contient cette diagonale de face et l’arête qui lui est opposée. Mais il existe deux tels plans dans le parallélipipède, et dans lesquels conséquemment la résultante des trois forces doit se