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${\frac {y'-u}{x'-t}},\qquad {\frac {u}{t}},\qquad {\frac {y-u}{x-t}}\,;$

d’où on conclut, par les formules connues,

$\operatorname {Sin} .\theta ={\frac {{\frac {y-u}{x-t}}-{\frac {u}{t}}}{\sqrt {\left(1+{\frac {u^{2}}{t^{2}}}\right)\left\{1+\left({\frac {y-u}{x-t}}\right)^{2}\right\}}}}={\frac {yt-xu}{\left(t^{2}+u^{2}\right)\left\{(x-t)^{2}+(y-u)^{2}\right\}}}$

$\operatorname {Sin} .\theta ={\frac {{\frac {y'-u}{x'-t}}-{\frac {u}{t}}}{\sqrt {\left(1+{\frac {u^{2}}{t^{2}}}\right)\left\{1+\left({\frac {y'-u}{x'-t}}\right)^{2}\right\}}}}={\frac {y't-x'u}{\left(t^{2}+u^{2}\right)\left\{(x'-t)^{2}+(y'-u)^{2}\right\}}}$

et ensuite, par les lois de la dioptrique,

${\frac {yt-xu}{\lambda {\sqrt {(x-t)^{2}+(y-u)^{2}}}}}={\frac {y't-x'u}{\lambda '{\sqrt {(x'-t)^{2}+(y'-u)^{2}}}}}\,;\qquad$(2)

c’est là, pour chaque point d’incidence $(t,u),$ l’équation en $x$ et $y$ du rayon réfracté. Cette équation semblerait être double, à raison des doubles signes dont les radicaux sont susceptibles ; mais c’est bien ainsi qu’elle doit être écrite pour la question qui nous occupe. Si, en effet, on suppose $\lambda '=\lambda ,$ c’est-à-dire, si l’on suppose que la réfraction est nulle, le rayon réfracté ne doit être alors que le prolongement du rayon incident, et doit conséquemment contenir le point rayonnant $(x',y')$ sur sa direction. Il faut donc que, dans ce cas, l’équation soit satisfaite en posant à la fois $x=x'$ et $y=y'.$ C’est ce qui arrive en effet et ce qui n’aurait pas lieu si nous eussions adopté d’autres signes.

Si pourtant, dans la vue de résoudre cette équation, on en fait disparaître les radicaux, elle montera au second degré. On n’a pas lieu de s’en étonner, et il est aisé de reconnaître quelles sont les