Exercices de mathématiques (pag. 29), M. Cauchy vient récemment d’éluder cette difficulté d’une manière fort ingénieuse et bien propre à prouver qu’on peut quelquefois ne pas se trouver moins bien en mécanique qu’en géométrie du recours aux trois dimensions de l’espace, pour la démonstration des théorèmes qui n’en embrassent que deux seulement. Comme peut-être beaucoup de professeurs de nos collèges pourraient ne pas songer à aller chercher cette démonstration dans le savant recueil qui la contient, et comme d’ailleurs nous y avons introduit quelques simplifications, nous croyons faire une chose agréable pour eux en la présentant ici telle que nous l’avons adoptée pour l’enseignement qui nous est confié. Mais auparavant il est nécessaire que ncus rappellions brièvement ici diverses propositions préliminaires qui se trouvent établies dans la plupart des traités de statique, ou du moins qui peuvent être facilement déduites de celles qu’on y rencontre, afin de n’avoir plus qu’à y renvoyer à mesure que nous aurons besoin de nous en appuyer.
1. Lorsque des forces sont appliquées à un même point de l’espace, ou bien elles se font équilibre, ou bien elles ont une résultante unique dont la direction passe par ce point.
2. Si elles se font équilibre, chacune d’elles est égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres.
3. Plusieurs systèmes en équilibre autour d’un même point ne forment qu’un système unique en équilibre autour de ce point.
4. Et comme la proposition ne cesse pas d’être vraie lorsque les forces sont égales chacune à chacune dans ces divers systèmes, et que les directions des forces homologues coïncident, il s’ensuit qu’on ne trouble pas l’équilibre de plusieurs forces, appliquées à un même point, lorsque, sans changer leur direction, on les rend toutes fois plus grandes, quel que soit d’ailleurs le nombre entier . Donc aussi (2) si, sans changer les directions de plusieurs forces qui ne sont pas en équilibre autour d’un point, on les rend tou-
