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{\begin{aligned}A'_{m-2}&=(m-n+1)(m-n)A_{n-1},\\\\A'_{m-1}&=2(m-n)A_{n},\\\\A'_{m}&=2A_{n+1},\end{aligned}}

il viendra, en substituant et réduisant,

(m-1)(m-n)A_{n}^{2}<m(m-n+1)A_{n-1}A_{n+1}\,;\qquad

(8)

de sorte que, si une telle relation a lieu entre trois termes consécutifs quelconques de la proposée, cette équation aura nécessairement des racines imaginaires.

Si l’on a $A_{n}^{2}<A_{n-1}A_{n+1},$ à plus forte raison la relation (8) aura-t-elle lieu ; donc la proposée aura des racines imaginaires^[1] ; et, comme cette dernière inégalité est nécessairement satisfaite, si l’on a $A_{n}=0$ et $A_{n-1},A_{n+1}$ de mêmes signes, on retombe ainsi sur sa remarque déjà faite par Descartes, savoir : que toute équation dans laquelle il manque un terme, entre deux autres de mêmes lignes, a nécessairement des racines imaginaires.

↑ Cette proposition a déjà été établie à la page 385 du XVI.^e volume du présent recueil, où l’on a prouvé, en outre, qu’autant de fois cette relation avait lieu entre trois termes consécutifs d’une équation, autant au moins l’équation avait de couples de racines imaginaires. Il serait intéressant de savoir s’il en est de même à l’égard de la relation (8), dont celle-là n’est qu’un cas particulier.
J. D. G.

[1] Cette proposition a déjà été établie à la page 385 du XVI.^e volume du présent recueil, où l’on a prouvé, en outre, qu’autant de fois cette relation avait lieu entre trois termes consécutifs d’une équation, autant au moins l’équation avait de couples de racines imaginaires. Il serait intéressant de savoir s’il en est de même à l’égard de la relation (8), dont celle-là n’est qu’un cas particulier.
J. D. G.

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