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c’est l’équation de la projection de la courbe cherchée sur le plan des $xz$.

On reconnaît facilement la nature de cette courbe en développant le cylindre sur un plan. Supposons que ce plan ait pour équation $x=R$ et que le développement s’effectue à partir de l’arête opposée à celle de contact ; soient pris pour axes cette dernière arête et la trace du plan tangent sur celui des $xy$ ; soient $u$ et $t$ les coordonnées respectivement relatives à ces axes, on aura

$u=z,\qquad t=R\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {x}{R}}\right)\,;$

d’où, en substituant dans l’équation précédente,

$u={\frac {b}{2}}\left(e.^{+{\frac {t}{b}}}+e.^{-{\frac {t}{b}}}\right)$

c’est l’équation de la courbe développée. On voit qu’elle appartient à une chaînette formée par un fil uniformément pesant, parfaitement flexible et inextensible, dont le rayon de courbure, au point le plus bas, est égal à $b$^[1].

De là résulte ce curieux théorème : Si l’on fixe à deux des points de la surface d’un cylindre droit, dont l’axe est vertical, les deux extrémités d’un fil uniformément pesant, parfaitement flexible et inextensible, qui n’éprouve aucun frottement de la part de la surface du cylindre, ce fil abandonné ainsi à l’action de la pesanteur, se pliera sur ce cylindre suivant une courbe à double courbure dont les développantes appartiendront à des surfaces sphérigues.

1. Voy. Annales, tom. 1, pag. 58.
   J. D. G.