![{\displaystyle \operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}+p\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}=0,\qquad \operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}+q\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c45cb8a9ea09696577a51b856c3790c4ee2c915)
dont le système satlsfait à l’équation différentielle de la surface dont il s’agit. Si cette surface est un cône ayant son sommet à l’origine, il existera, comme l’on sait, entre les coefficiens différentiels
et
, la relation
![{\displaystyle px+qy=z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01524b98696f1387ac50b350d00b8f09302e689)
éliminant
et
entre ces trois équations, on trouve
![{\displaystyle x\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}+y\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}+z\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf5732d1eb901f942dd1e68eb3b8a9863cf6b04)
or, il est facile de voir que les courbes de développement sphérique satisfont à cette équation ; car, en substituant dans l’équation (11) les formules (2), il vient
![{\displaystyle x'\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} s}}+y'\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} s}}+z'\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} s}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba5bf5f7eff8fff22595b2b976c0c022960f293)
Si l’on suppose que le centre de la sphère soit situé à l’infini, cette surface dégénérera en un plan et le cône en un cylindre qui lui sera perpendiculaire ; on aura ainsi les deux premiers résultats énoncés à la pag. 254 du présent volume.
S’il s’agissait de trouver, sur une surface donnée
![{\displaystyle z=\operatorname {f} (x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eadde7f357b64e9f40c1cf8a2a4e8d9980e6c415)
les courbes à développantes sphériques, il faudrait joindre à cette équation son équation différentielle
![{\displaystyle \operatorname {d} z=p\operatorname {d} x+q\operatorname {d} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e84d96dfefef06b659103d5f2311d439bfa018c)
et l’équation de condition