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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}+p\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}=0,\qquad \operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}+q\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}=0,$

dont le système satlsfait à l’équation différentielle de la surface dont il s’agit. Si cette surface est un cône ayant son sommet à l’origine, il existera, comme l’on sait, entre les coefficiens différentiels $p$ et $q$, la relation

$px+qy=z\,;$

éliminant $p$ et $q$ entre ces trois équations, on trouve

$x\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}+y\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}+z\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}=0\,;$

or, il est facile de voir que les courbes de développement sphérique satisfont à cette équation ; car, en substituant dans l’équation (11) les formules (2), il vient

$x'\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} s}}+y'\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} s}}+z'\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} s}}=0.$

Si l’on suppose que le centre de la sphère soit situé à l’infini, cette surface dégénérera en un plan et le cône en un cylindre qui lui sera perpendiculaire ; on aura ainsi les deux premiers résultats énoncés à la pag. 254 du présent volume.

S’il s’agissait de trouver, sur une surface donnée

$z=\operatorname {f} (x,y),$

les courbes à développantes sphériques, il faudrait joindre à cette équation son équation différentielle

$\operatorname {d} z=p\operatorname {d} x+q\operatorname {d} y,$

et l’équation de condition