Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/66

$x-x_{1}={\frac {\operatorname {d} x_{1}}{\operatorname {d} z_{1}}}(z-z_{1}),\qquad y-y_{1}={\frac {\operatorname {d} y_{1}}{\operatorname {d} z_{1}}}(z-z_{1})\,;$

il existe conséquemment entre le cône dont il s’agit et la développante une relation telle que tout plan tangent au cône est normal à la développante et réciproquement.

Pour énoncer ce résultat d’une manière simple, supposons que l’on enveloppe un fil sur le périmètre d’une courbe tracée sur une sphère et qu’on le développe ensuite de manière qu’il ne sorte point de la surface sphérique et qu’il soit constamment tendu, auquel cas il se dirigera constamment suivant un arc de grand cercle tangent à cette courbe. L’extrémité du fil décrira visiblement une autre courbe située sur la sphère, et partout perpendiculaire à la direction du fil. On peut donner à cette dernière courbe le nom de développante sphérique de la première.

Cela posé, on voit que, lorsque la développante d’une courbe est située sur une sphère, elle est en même temps la développante sphérique de la ligne de pénétration de la surface de la sphère par le cône ayant son centre pour sommet et la développée non sphérique pour directrice.

La développée jouit, sur le cône dont il vient d’être question, d’une propriété remarquable : elle est, sur cette surface, la plus courte ligne entre deux de ses points, ou, en d’autres termes, elle se transforme en une ligne droite lorsqu’on développe ce cône sur un plan. En effet, on fait voir, dans le calcul des variations^[1], que, si une surface a pour équation différeotielle

$z=p\operatorname {d} x+q\operatorname {d} y,$

les équations de la ligne la plus courte sur cette surface seront

1. Voy. tom. XIII, pag. 87.
   J. D. G.