![{\displaystyle \left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-\left(x'{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} s}}+y'{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} s}}+z'{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} s}}\right)^{2}=a^{2}-c^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83dd975290956479b1ebcbb086d178bdbc50905c)
En remplaçant
par
par
cette équation deviendra
![{\displaystyle \left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-r^{2}\right)\left(\operatorname {d} x'^{2}+\operatorname {d} y'^{2}+\operatorname {d} z'^{2}\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ab4321f2fe488fb8afbcdeed39fa13e27400d3e)
![{\displaystyle (x'\operatorname {d} x'+y'\operatorname {d} y'+z'\operatorname {d} z')^{2},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9134a275750154340d5913cdd62686198596bc9)
(10)
qu’on pourra encore mettre sous cette autre forme
![{\displaystyle (x'\operatorname {d} y'+y'\operatorname {d} x')^{2}+(y'\operatorname {d} z'+z'\operatorname {d} y')^{2}+(z'\operatorname {d} x'+x'\operatorname {d} z')^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29a47cadb857a1dc84cffb0cd995655933067b6)
![{\displaystyle =r^{\left(\operatorname {d} x'^{2}+\operatorname {d} y'^{2}+\operatorname {d} z'^{2}\right)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/777bddf7a8bce79ee3c3177651fedd5f5dc23a6d)
C’est là conséquemment une des équations différentielles du premier ordre des courbes à double courbure cherchées.
Mettons présentement dans l’équation (5) les valeurs (1) ; nous aurons
![{\displaystyle \left(x'-s{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} s}}\right)\operatorname {d} x_{1}+\left(y'-s{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} s}}\right)\operatorname {d} y_{1}+\left(z'-s{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} s}}\right)\operatorname {d} z_{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f001c2ef1f3050a6cc9bb3d472a573d54ca67e36)
qui, à cause de la relation (4), se réduit simplement à
![{\displaystyle x'\operatorname {d} x_{1}+y'\operatorname {d} y_{1}+z'\operatorname {d} z_{1}=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a87513bb67ff28c2fd4e8723745487d0bc67c80b)
(11)
Les équations (5) et (11) prouvent que le plan
![{\displaystyle x\operatorname {d} x_{1}+y\operatorname {d} y_{1}+z\operatorname {d} z_{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeb250136f161f5c23061d32e31024ff10307f62)
contient lesdeux points
et
et conséquemment le fil descripteur ; ce plan passe d’ailleurs par l’origine ; donc il n’est autre que le plan tangent à la surface conique ayant son sommet à l’origine et pour directrice la développée. En outre, ce plan est normal à la développante, comme il résulte immédiatement de la comparaison de son équation avec celles de la tangente à la développante qui sont