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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-\left(x'{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} s}}+y'{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} s}}+z'{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} s}}\right)^{2}=a^{2}-c^{2}.$

En remplaçant $a^{2}-c^{2}$ par $r^{2},\ \operatorname {d} s^{2}$ par $\operatorname {d} x'^{2}+\operatorname {d} y'^{2}+\operatorname {d} z'^{2},$ cette équation deviendra

$\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-r^{2}\right)\left(\operatorname {d} x'^{2}+\operatorname {d} y'^{2}+\operatorname {d} z'^{2}\right)=$

$(x'\operatorname {d} x'+y'\operatorname {d} y'+z'\operatorname {d} z')^{2},\qquad$(10)

qu’on pourra encore mettre sous cette autre forme

$(x'\operatorname {d} y'+y'\operatorname {d} x')^{2}+(y'\operatorname {d} z'+z'\operatorname {d} y')^{2}+(z'\operatorname {d} x'+x'\operatorname {d} z')^{2}$

$=r^{\left(\operatorname {d} x'^{2}+\operatorname {d} y'^{2}+\operatorname {d} z'^{2}\right)}.$

C’est là conséquemment une des équations différentielles du premier ordre des courbes à double courbure cherchées.

Mettons présentement dans l’équation (5) les valeurs (1) ; nous aurons

$\left(x'-s{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} s}}\right)\operatorname {d} x_{1}+\left(y'-s{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} s}}\right)\operatorname {d} y_{1}+\left(z'-s{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} s}}\right)\operatorname {d} z_{1}=0,$

qui, à cause de la relation (4), se réduit simplement à

$x'\operatorname {d} x_{1}+y'\operatorname {d} y_{1}+z'\operatorname {d} z_{1}=0.\qquad$(11)

Les équations (5) et (11) prouvent que le plan

$x\operatorname {d} x_{1}+y\operatorname {d} y_{1}+z\operatorname {d} z_{1}=0.$

contient lesdeux points $(x_{1},y_{1},z_{1})$ et $(x',y',z')$ et conséquemment le fil descripteur ; ce plan passe d’ailleurs par l’origine ; donc il n’est autre que le plan tangent à la surface conique ayant son sommet à l’origine et pour directrice la développée. En outre, ce plan est normal à la développante, comme il résulte immédiatement de la comparaison de son équation avec celles de la tangente à la développante qui sont