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${\frac {x_{1}}{a}},\ {\frac {y_{1}}{a}},\ {\frac {z_{1}}{a}}$ sont les cosinus des angles que forme cette normale avec les axes

$\operatorname {Cos} .\varphi ={\frac {x_{1}}{a}}{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} s}}+{\frac {y_{1}}{a}}{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} s}}+{\frac {z_{1}}{a}}{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} s}}\,;$

ou, en vertu de l’équation (9)

$\operatorname {Cos} .\varphi ={\frac {c}{a}}\,;$

d’où il suit que le fil est toujours également incliné sur la surface de la sphère.

L’équation $a\operatorname {Cos} .\varphi =c$ signifie que $c$ est la projection, sur la direction du fil, du rayon qui passe par son extrémité, et que par conséquent la sphère intercepte sur tous les élémens de la courbe cherchée des cordes constantes $2c$. Soit $r$ la perpendiculaire abaissée de l’origine sur l’un de ces élémens, on aura visiblement

$r={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}\,;$

ainsi, les élémens d’une courbe à double courbure dont la développante se trouve sur une sphère donnée, sont tous tangens à une même sphère concentrique à la première.

Si l’on substitue dans l’équation (9) les valeurs (1), on obtient

$\left(x'-s{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} s}}\right){\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} s}}+\left(y'-s{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} s}}\right){\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} s}}+\left(z'-s{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} s}}\right){\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} s}}=C\,;$

ou, en développant et réduisant

$x'{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} s}}+y'{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} s}}+z'{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} s}}-s=c\,;$

quarrant les deux membres de celle-ci, et retranchant ensuite l’équation (8), il vient