Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/62

$\operatorname {d} \left(\operatorname {d} x'^{2}+\operatorname {d} y'^{2}+\operatorname {d} z'^{2}\right)=0,$ d’où $\operatorname {d} x'\operatorname {d} ^{2}x'+\operatorname {d} y'\operatorname {d} ^{2}y'+\operatorname {d} z'\operatorname {d} ^{2}z'=0,$ (2)

il viendra, en supprimant les termes qui se détruisent,

$\operatorname {d} x_{1}=-s{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} s}},\quad \operatorname {d} y_{1}=-s{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} s}},\quad \operatorname {d} z_{1}=-s{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} s}}\,;\qquad$(3)

prenant la sdmme des produits respectifs de ces trois équations par $\operatorname {d} x',\operatorname {d} y',\operatorname {d} z',$ en remarquant (2) que le second membre de l’équation résultante est nul, on trouvera

$\operatorname {d} x'\operatorname {d} x_{1}+\operatorname {d} y'\operatorname {d} y_{1}+\operatorname {d} z'\operatorname {d} z_{1}=0\,;\qquad$(4)

équation qui exprime évidemment que la développante est constamment perpendiculaire à la direction du fil.

Soit actuellement

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$

l’équation de la sphère sur laquelle doit se trouver la développante ; on en tirera, par différentiation,

$x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y+z\operatorname {d} z=0\,;$

or, comme le point $\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right)$ s’y trouve situé, on doit avoir

$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}=a^{2},$

d’où

$x_{1}\operatorname {d} x_{1}+y_{1}\operatorname {d} y_{1}+z_{1}\operatorname {d} z_{1}=0.\qquad$(5)

Mettant dans l’avant dernière équation les valeurs (1), et dans la dernière les valeurs (2), il vient

$\left(x'-s{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} s}}\right)^{2}+\left(y'-s{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} s}}\right)^{2}+\left(z'-s{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} s}}\right)^{2}=a^{2},$ (6)