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GÉOMÉTRIE TRANSGENDANTE.

Recherches sur les courbes à double courbure
dont les développantes sont sphériques ;

Par M. Bobillier, professeur de Mathématiques à l’École
royale des arts et métiers de Châlons-sur-Marne.

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Soient $x',y',z'$ les coordonnées courantes d’une courbe à double courbure, $x_{1},y_{1},z_{1}$ celles de l’extrémité d’un fil tangent à la courbe au point $(x',y',z')$ et $s$ la longueur de ce fil, comptée du point de contact, ou, ce qui revient au même, la longueur de l’arc de cette courbe compris depuis le point de contact jusqu’à l’origine du développement. Les projections du fil sur les trois axes, supposes rectangulaires, seront $x'-x_{1},\ y'-y_{1},\ z'-z_{1}$ et conséquemment ces mêmes quantités, divisées par $s,$ donneront les cosinus tabulaires des angles formés par la direction de ce même fil avec les trois axes ; en sorte que l’on aura

${\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} s}}={\frac {x'-x_{1}}{s}},\quad {\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} s}}={\frac {y'-y_{1}}{s}},\quad {\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} s}}={\frac {z'-z_{1}}{s}}\,;$

et, par suite

$x_{1}=x'-s{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} s}},\quad y_{1}=y'-s{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} s}},\quad z_{1}=z'-s{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} s}}.\qquad$(1)

Différentiant ces trois équations en regardant, comme la variable indépendante, et conséquemment $\operatorname {d} s$ comme constante, ce qui permet de poser