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ou bien enfin

$\left\{x^{2}+y^{2}-\left({\frac {r^{2}x'}{x'^{2}+y'^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {r^{2}y'}{x'^{2}+y'^{2}}}\right)^{2}\right\}^{2}$

$=4r^{2}\left\{\left[x-{\frac {r^{2}x'}{x'^{2}+y'^{2}}}\right]^{2}+\left[y-{\frac {r^{2}y'}{x'^{2}+y'^{2}}}\right]^{2}\right\}.$

Or, pour faire coïncider cette dernière équation avec l’équation (3), il suffit de poser

${\frac {r^{2}x'}{x'^{2}+y'^{2}}}=X,\quad {\frac {r^{2}y'}{x'^{2}+y'^{2}}}=Y,\quad r=R,\qquad$(7)

ce qui donne

$\left(X^{2}+Y^{2}\right)\left(x'^{2}+y'^{2}\right)=r^{4},\qquad {\frac {X}{x'}}={\frac {Y}{y'}},$

et prouve ainsi que le point $(X,Y)$ est le conjugué de $(x',y'),$ par rapport au cercle séparateur ; on a donc ce théorème :

La caustique par réfraction, relative au cercle, et à un point rayonnant dont la distance au centre du cercle séparateur est au raycn de ce cercle dans le rapport du sinus d’incidence au sinus de réfraction, n’est autre que la caustique par réflexion relative au même cercle, considéré comme cercle réfléchissant, et à un autre point rayonnant qui serait le conjugué de celui-là.

Au moyen de la relation (6), les valeurs (7) deviennent

$X={\frac {\lambda ^{2}}{\lambda '^{2}}}x',\qquad Y={\frac {\lambda ^{2}}{\lambda '^{2}}}y',\qquad R=r\,;$

substituant ces valeurs dans l’équation (5), on obtiendra, pour l’é-