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thogonales des rayons réfractés ; et l’on trouve facilement pour l’équation de cette trajectoire l’équation donnée page 3 ; c’est-à-dire,

$\left\{\lambda '^{2}\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)-\lambda ^{2}\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)\right\}^{2}$

$=4\lambda ^{2}\lambda '^{2}r^{2}\left\{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\right\}\,;\quad$(1)

de sorte que la caustique n’est autre que la développée de cette courbe.

Si, d’après cela, on demandait une des trajectoires orthogonales, pour un cercle réfléchissant d’un rayon $R,$ concentrique à celui-là, et pour un point rayonnant $(X,Y),$ il faudrait poser, dans cette équation, $x'=X,\ y'=Y,\ r=R$ et $\lambda '=-\lambda$ ; ce qui donnerait

$\left(x^{2}+y^{2}-X^{2}-Y^{2}\right)^{2}=4R^{2}\left\{(x-X)^{2}+(y-Y)^{2}\right\}.\quad$(2)

La comparaison des équations (1) et (2) va nous conduire directement à notre but.

I. Supposons d’abord, dans l’équation (1) que le point rayonnant est sur la circonférence du cercle séparateur ; nous exprimerons cette circonstance en écrivant

$x'^{2}+y'^{2}=r^{2}\,;\qquad$(3)

au moyen de quoi cette équation deviendra, en éliminant, $r^{2}$ de son premier membre et divisant ensuite par $\lambda '^{4},$

$(x^{2}+y^{2}-x'^{2}-y'^{2})^{2}=4\left({\frac {\lambda }{\lambda '}}r\right)^{2}\left\{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\right\}.$

Or, pour faire coïncider cette dernière équation avec l’équation (2) il suffit de poser