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$(a-a')A=\pm (r\pm r')R\operatorname {Cos} .\omega .$

En considérant trois cercles $(C),(C'),(C'')$ coupant (c) sous les angles respectifs $\omega ,\omega ',\omega '',$ et (c’) sous les mêmes angles ou sous leurs supplémentaires, on aura

${\frac {R\operatorname {Cos} .\omega }{A}}={\frac {R'\operatorname {Cos} .\omega '}{A'}}={\frac {R''\operatorname {Cos} .\omega ''}{A''}}\,;$

et par conséquent

${\frac {A''R'\operatorname {Cos} .\omega '-A'R''\operatorname {Cos} .\omega ''}{R'-R''}}={\frac {AR''\operatorname {Cos} .\omega ''-A''R\operatorname {Cos} .\omega }{R''-R}}$

$={\frac {A'R\operatorname {Cos} .\omega -AR'\operatorname {Cos} .\omega '}{R-R'}}=0$

d’où l’on voit que l’axe des $y$, c’est-à-dire, l’axe radical des deux cercles (c) et (c’) est un axe de similitude de trois cercles concentriques à $(C),(C'),(C'')$ et dont les rayons $R\operatorname {Cos} .\alpha ,\ R'\operatorname {Cos} .\alpha ',\ R''\operatorname {Cos} .\alpha '',$ seraient égaux aux leurs, diminués dans le rapport de l’unité aux cosinus respectifs des angles $\omega ,\omega ',\omega ''$ ; savoir l’axe de similitude directe ou un axe de similitude inverse, facile à reconnaître, suivant que les trois angles $\omega ,\omega ',\omega ''$ sont de même espèce ou d’espèces différentes.

Les dernières expressions ne changeant pas tant que les rapports

${\frac {\operatorname {Cos} .\omega }{\lambda }},\qquad {\frac {\operatorname {Cos} .\omega '}{\lambda '}},\qquad {\frac {\operatorname {Cos} .\omega ''}{\lambda ''}},$

restent les mêmes ; il en résulte que tout cercle qui coupe $(C),(C'),(C'')$ sous des angles dont les cosinus sont dans le rapport constant de $\lambda ,\lambda ',\lambda ''$ a le même axe radical avec (c) et (c’). Parmi ces cercles, se range évidemment le cercle orthogonal des trois cercles $(C),(C'),(C'')$, pour lequel ces trois cosinus sont nuls ; d’où résulte la construction suivante du problème où l’on propose de décrire un cercle qui coupe trois cercles donnés sous des angles donnés $\omega ,\omega ',\omega ''.$