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leurs quatre axes de similitude et les douze pôles de ces quatre axes, par rapport à ces trois cercles. Que l’on mène ensuite des droites du centre radical à ces douze pôles. Ces droites détermineront, sur les trois cercles, leurs vingt-quatre points de contact avec les huit cercles qui résolvent le problème.

L’on sait qu’on peut construire le pôle d’une droite par l’intersection des polaires de deux quelconques de ses points. En prenant pour ces points deux centres de similitude, on tombe précisément sur l’élégante construction de M. Gergonne (Annales, tom. VII, pag. 289)^[1].

11. La polaire d’un point quelconque de $pp'$ passant par son pôle, intersection des tangentes communes en $p$ et $p'$ ; ce point est aussi situé sur la polaire du centre radical de $(C),(C'),(C'')$ relative à $(C)$, ce qui fournit cette troisième construction :

III. Que l’on construise les quatre axes de similitude, et en outre les polaires du centre radical relatives aux trois cercles, ces polaires auront avec les axes de similitude douze points d’intersection, desquels menant des tangentes aux cercles respectifs, on obtiendra de nouveau les vingt-quatre points de contact des huit cercles cherchés.

Les constructions indiquées, sans analyse, par M. Poncelet (Annales, tom, XI, pag. 318) doivent nécessairement rentrer dans les précédentes.

12. Les modifications que doivent subir ces diverses constructions lorsqu’on substitue des points ou des droites à un ou à deux des cercles donnés, n’offrent aucune difficulté. On peut prouver, par exemple, en toute rigueur analitique, que les deux points où un cercle est coupé par la perpendiculaire menée à une droite indéfinie, par son centre, sont les deux centres de similitude de

1. C’est la même qui a été reproduite, tom. XVII, pag. 309.
   J. D. G.