se coupent, on pourra considérer leurs points d’intersection comme deux cercles de rayon nul qui les touchent tous deux ; d’où il suil qu’alors le cercle orthogonal passera par ces deux points ; ce qui offre un moyen facile de le construire dans ce cas. Dans tous les cas, il aura même axe radical avec ces deux-là.
8. Deux cercles (c), (c’) étant tracés sur un même plan, on peut toujours concevoir tant d’autres cercles qu’on voudra qui les touchent tous trois, soit de la même manière soit d’une manière différente. Soient trois de ces cercles ; on voit que les cercles , pris deux à deux, auront l’un de leurs centres de similitude (7) sur l’axe radical de (c) et (c’) et que conséquemment trois de leurs six centres de similitude seront sur cette droite. C’est le théorème de Monge, qu’on peut encore énoncer ainsi : Les quatre axes de similitude de trois cercles sont en même temps les axes radicaux de quatre couples de cercles tangens à la fois à ces trois-là.
9. De ce qui précède on peut déduire divers modes de construction des cercles tangens à la fois à trois cercles donnés.
I. Soient construits le cercle qui coupe orthogonalement les trois cercles donnés, ainsi que leurs quatre axes de similitude. Si ces axes coupent le cercle orthogonal, on achèvera (8) la construction, en décrivant (1) des cercles passant par chaque couple de points d’intersection et touchant en même temps l’un quelconque des cercles donnés.
10. Soient et les deux points où les cercles (c) et (c’) sont touchés par ; la droite passera par l’un des centres de similitude de (c) et (c’), ou, ce qui revient au même (6), par le centre radical des trois cercles . De plus, les tangentes communes aux points et vont concourir en un point de l’axe radical de (c) et (c’), centre radical de (c), (c’) et ; d’où il suit que cette droite passe par le pôle de cet axe radical relatif à . De là résulte cette autre construction :
II. Que l’on construise le centre radical des trois cercles donnés,
