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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$(x-a)^{2}+y^{2}=r^{2},\qquad$(c)

$(x-a')^{2}+y^{2}=r'^{2},\qquad$(c’)

les équations de deux cercles ; en prenant leur axe radical pour axe des $y$, nous aurons

$a^{2}-r^{2}=a'^{2}+r'^{2}.$

Soit ensuite

$(x-A)^{2}+(y-B)^{2}=R^{2},\qquad (C)$

l’équation d’un troisième cercle que, pour fixer les idées, nous supposons toucher extérieurement les deux premiers ; il en résultera

${\begin{aligned}(A-a\,)^{2}+B^{2}\,)^{2}&=(R+r)^{2},\\\\(A-a')^{2}+B'^{2}&=(R+r')^{2}\,;\end{aligned}}$

d’où, en retranchant et ayant égard à la relation ci-dessus,

$(a-a')A=-(r-r')R.$

Si, au contraire, le cercle $(C)$ enveloppait les deux autres ou en était enveloppé, le signe du second membre serait positif ; de sorte que, pour comprendre les deux cas dans un seul, il faudra écrire

$(a-a')A=\pm (r-r')R\,;$

dans tous les cas, ${\frac {A}{R}}$ sera une quantité constante.

Si donc on considère deux cercles touchans $(C),(C'),$ on aura

${\frac {A}{R}}={\frac {A'}{R'}},\quad$ou$\quad RA'-R'A=0,$

d’où résultera encore