Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/390

Les mêmes choses ont lieu pour des cercles tracés sur la surface d’une sphère ; l’équation est alors

$\operatorname {Cos} .(R\mp r)\pm 2\operatorname {Sin} .r\operatorname {Sin} .R\operatorname {Tang} .^{2}{\frac {n}{m}}\varpi =\operatorname {Cos} .d.$

II. Soient deux sphères $S,s$, non concentriques, que, pour fixer les idées, nous supposons d’abord intérieures l’une à l’autre ; et soit inscrite arbitrairement une troisième sphère $\Sigma$ dans l’intervalle qui les sépare.

Soit ensuite décrite un, suite de sphères $\mathrm {O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}} ,\ldots$ dont la première $\mathrm {O_{1}}$ soit simplement assujettie à toucher à la fois les trois sphères $S,s,\Sigma$ ; tandis que chacune des autres sera assujettie non seulement à toucher ces trois mêmes sphères, mais encore à toucher celle qui la précède immédiatement dans la série.

Ou bien la série de ces sphères se prolongera indéfiniment, ou bien, après $n$ révolutions autour de la sphère $s$, on rencontrera une dernière sphère $\mathrm {O_{m},}$ touchant la première $\mathrm {O_{1}}$ et il s’agirait d’abord de prouver que ces circonstances ne dépendent aucunement ni de la situation arbitraire de la sphère $\Sigma ,$ ni de la situation également arbitraire de la première sphère $O_{1}$ de la série ; mais uniquement des rayons $\mathrm {R} ,r$ des deux sphères données $S$ et $s,$ et de la distance $d$ entre leurs centres.

Il s’agirait de prouver, en outre, qu’on aura, dans le dernier cas,

$(R\pm r)^{2}\mp 16r\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {n}{m}}\varpi =d^{2}\,;$

les signes inférieurs répondant au cas où les sphères données $S,s,$ sont extérieures l’une à l’autre.

Fin du tome dix-huitième.