Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/389

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mitée, en représentant respectivement par $R,r$ les rayons des deux cercles $\mathrm {C} ,c,$ et par $d$ la distance entre leurs centres, on doit avoir cette équation remarquable

(R-r)^{2}-4R.\operatorname {Tang} .^{2}{\frac {n}{m}}\varpi =d^{2}.

Si les deux cercles donnés sont l’un hors de l’autre, l’équation sera

(R+r)^{2}+4R.\operatorname {Tang} .^{2}{\frac {n}{m}}\varpi =d^{2}.\qquad

^[1]

↑ Voici un théorème beaucoup plus simple qui doit également être vrai.
Soient deux cercles $\mathrm {C} ,c$ , non concentriques, tracés dans un même plan et que, pour fixer les idées, nous supposons intérieurs l’un à l’autre.

Soient $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},\ldots$ une suite de cordes de $\mathrm {C}$ tangentes à $c$ , la première étant arbitraire et chacune des suivantes étant assujetties à avoir une extrémité commune avec celle qui la précède immédiatement.

Ou bien le nombre de ces cordes sera illimité, ou bien, après avoir fait $n$ fois le tour de l’espace compris entre les deux cercles $\mathrm {C} ,c$ , on parviendra à une dernière corde $\mathrm {A_{m}}$ qui se terminera au point de départ de la première $\mathrm {A_{1}}$ ; de sorte que les $m$ cordes formeront un polygone étoilé, inscrit à $\mathrm {C}$ et circonscrit à $c$ .

Il s’agirait d’abord de prouver que ces circonstances ne dépendent aucunement de la situation de la première corde $\mathrm {A_{1},}$ mais uniquement des rayons $\mathrm {R} ,r$ des deux cercles et de la distance d’entre leurs centres.

Il s’agirait en outre d’assigner, dans le dernier cas, le rapport qui doit exister entre les grandeurs $m,n,\mathrm {R} ,r,d.$

Il a déjà été établi (Annales, tom. I, pag. 149, tom. III, pag. 346 et tom. XIV, pag. 54) que, dans le cas de $m=3$ et $n=1,$ cette relation est

$\mathrm {R} ^{2}\mp 2r\mathrm {R} =d^{2}.$

On peut aussi se proposer le même théorème pour deux cercles tracés sur la surface d’une sphère, et il a été démontré (Annales, tom. XIV, p. 59) que, dans le cas de $m=3$ et $n=1,$ on doit avoir

$\left\{\operatorname {Sin} .(R+r)+\operatorname {Sin} .(R-r)\right\}\left\{3\operatorname {Sin} .(R\mp r)-\operatorname {Sin} .(R\pm r)\right\}=4\operatorname {Sin} .^{2}d.$

J. D. G.

[1] Voici un théorème beaucoup plus simple qui doit également être vrai.
Soient deux cercles $\mathrm {C} ,c$ , non concentriques, tracés dans un même plan et que, pour fixer les idées, nous supposons intérieurs l’un à l’autre.

Soient $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},\ldots$ une suite de cordes de $\mathrm {C}$ tangentes à $c$ , la première étant arbitraire et chacune des suivantes étant assujetties à avoir une extrémité commune avec celle qui la précède immédiatement.

Ou bien le nombre de ces cordes sera illimité, ou bien, après avoir fait $n$ fois le tour de l’espace compris entre les deux cercles $\mathrm {C} ,c$ , on parviendra à une dernière corde $\mathrm {A_{m}}$ qui se terminera au point de départ de la première $\mathrm {A_{1}}$ ; de sorte que les $m$ cordes formeront un polygone étoilé, inscrit à $\mathrm {C}$ et circonscrit à $c$ .

Il s’agirait d’abord de prouver que ces circonstances ne dépendent aucunement de la situation de la première corde $\mathrm {A_{1},}$ mais uniquement des rayons $\mathrm {R} ,r$ des deux cercles et de la distance d’entre leurs centres.

Il s’agirait en outre d’assigner, dans le dernier cas, le rapport qui doit exister entre les grandeurs $m,n,\mathrm {R} ,r,d.$

Il a déjà été établi (Annales, tom. I, pag. 149, tom. III, pag. 346 et tom. XIV, pag. 54) que, dans le cas de $m=3$ et $n=1,$ cette relation est

$\mathrm {R} ^{2}\mp 2r\mathrm {R} =d^{2}.$

On peut aussi se proposer le même théorème pour deux cercles tracés sur la surface d’une sphère, et il a été démontré (Annales, tom. XIV, p. 59) que, dans le cas de $m=3$ et $n=1,$ on doit avoir

$\left\{\operatorname {Sin} .(R+r)+\operatorname {Sin} .(R-r)\right\}\left\{3\operatorname {Sin} .(R\mp r)-\operatorname {Sin} .(R\pm r)\right\}=4\operatorname {Sin} .^{2}d.$

J. D. G.

[1]