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QUESTIONS PROPOSÉES.

Théorèmes de géométrie ;

Proposés à démontrer par M. J. Steiner, géomètre, de
Berlin.

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I. Soient deux cercles $\mathrm {C} ,c$, non concentriques, donnés sur un même plan, et que, pour fixer les idées, nous supposons d’abord intérieurs l’un à l’autre.

Soient tracés une suite de cercles $\mathrm {O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}} ,\ldots$ le premier assujetti seulement à être inscrit dans l’espace que laissent entre eux les deux cercles $\mathrm {C} ,c$ et chacun des autres assujetti non seulement à être inscrit dans cet espace, mais encore à toucher celui qui le précède immédiatement dans la série.

En poursuivant la construction de cette série de cercles, ou bien elle se prolongera indéfiniment, en donnant sans cesse des cercles différens de ceux qui auront déjà été tracés, ou bien au contraire, après avoir fait $n$ fois le tour de l’espace compris entre les deux cercles donnés, $\mathrm {C} ,c$, on parviendra à un dernier cercle $\mathrm {O_{m}}$ qui se trouvera tangent au premier $\mathrm {O_{1}} ,$ de sorte que la série se terminera à ce dernier cercle.

On propose d’abord de démontrer que cette circonstance est indépendante de la situation du premier cercle $\mathrm {O_{1}}$ de la série, et qu’elle ne dépend uniquement que des grandeur et situation respectives des deux cercles donnés $\mathrm {C} ,c$ ; c’est-à-dire, que, suivant les grandeur et situation de ces deux cercles, la série sera finie ou illimitée, quel que soit le cercle $\mathrm {O_{1}} .$

On propose en outre de démontrer que, quand la série est li-