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$p={\frac {(UV'-VU')(t-t')+(VT'-TV')(u-u')+(TU'-UT')(v-v')}{\sqrt {(UV'-VU')^{2}+(VT'-TV')^{2}+(TU'-UT')^{2}}}},$

$\operatorname {Sin} .\theta ={\frac {\sqrt {(UV'-VU')^{2}+(VT'-TV')^{2}+(TU'-UT')^{2}}}{\sqrt {\left(T^{2}+U^{2}+V^{2}\right)\left(T'^{2}+U'^{2}+V'^{2}\right)}}},$

on a d’ailleurs

$QQ'={\sqrt {\left(T^{2}+U^{2}+V^{2}\right)\left(T'^{2}+U'^{2}+V'^{2}\right)}},$

donc

$pQQ'\operatorname {Sin} .\theta =(UV'-VU')(t-t')+(VT'-TV')(u-u')$

$+(TU'-UT')(v-v')\,;$

or, les équations (4) et (5) donnent, en ayant égard aux équations (1),

${\begin{array}{ll}(UV'-VU')(t-t')&=\Sigma (Y')\Sigma (Z'x')-\Sigma (Z')\Sigma (Y'x'),\\\\(VT'-TV')(u-u')&=\Sigma (Z')\Sigma (X'y')-\Sigma (X')\Sigma (Z'y'),\\\\(TU'-UT')(v-v')&=\Sigma (X')\Sigma (Y'z')-\Sigma (Y')\Sigma (X'z')\,;\end{array}}$

en substituant donc il viendra

$pQQ'\operatorname {Sin} .\theta =\Sigma (X')\left\{\Sigma (Y'z')-\Sigma (Z'y')\right\}+\Sigma (Y')\left\{\Sigma (Z'x')-\Sigma (X'z')\right\}$

$+\Sigma (Z')\left\{\Sigma (X'y')-\Sigma (Y'x')\right\}\,;$

or, le second membre de cette dernière équation est constant, puis-