Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/383

$\left.{\begin{array}{ll}Tu+T'u'&=\Sigma (X'y'),\\Uv+U'v'&=\Sigma (Y'z'),\\Vt+V't'&=\Sigma (Z'x')\,;\end{array}}\right\}(\mathrm {2} )\qquad \left.{\begin{array}{ll}&Tv+T'v'&=\Sigma (X'z'),\\&Ut+U't'&=\Sigma (Y'x'),\\&Vu+V'u'&=\Sigma (Z'y')\,;\end{array}}\right\}(\mathrm {3} )$

d’où l’on voit que le problème se présente sous une forme indéterminée, puisqu’il n’offre que neuf équations seulement pour déterminer douze inconnues. Mais on sait qu’un problème, dans lequel le nombre des inconnues surpasse le nombre des équations, est quelquefois impossible ; nous avons donc besoin de prouver que celui qui nous occupe n’est point dans ce cas.

Des équations (2) et (3) on tire

$\left.{\begin{aligned}&t={\frac {V'\Sigma (Y'x')-U'\Sigma (Z'x')}{UV'-VU'}},\\\\&u={\frac {T'\Sigma (Z'y')-V'\Sigma (X'y')}{VT'-TV'}},\\\\&v={\frac {U'\Sigma (X'z')-T'\Sigma (Y'z')}{TU'-UT'}}\,;\end{aligned}}\right\}(\mathrm {4} )\left.{\begin{aligned}&t'=-{\frac {V\Sigma (Y'x')-U\Sigma (Z'x')}{UV'-VU'}},\\\\&u'=-{\frac {T\Sigma (Z'y')-V\Sigma (X'y')}{VT'-TV'}},\\\\&v'=-{\frac {U\Sigma (X'z')-T\Sigma (Y'z')}{TU'-UT'}}\,;\end{aligned}}\right\}(\mathrm {5} )$

or, il résulte de la forme de ces valeurs que, pourvu qu’on n’ait aucune des équations comprises dans la double égalité

${\frac {T}{T'}}={\frac {U}{U'}}={\frac {V}{V'}}\quad$ou$\quad {\frac {T'}{T}}={\frac {U'}{U}}={\frac {V'}{V}},$

aucune d’elles ne sera infinie. Mais cette double égalité peut encore être écrite comme il suit :