THÉORÈME II. Dans toute surface du second ordre pourvue d’un centre, la somme des carrés des inverses de trois demi-diamètres dirigés suivant les trois arêtes d’un angle trièdre tri-rectangle, est une quantité constante.
D’après l’élégante théorie des indicatrices de M. Charles Dupin (Annales, tom. IX, pag. 179), on sait qu’il y a mêmes relations entre les rayons de courbure des diverses sections faites à une surface courbe, suivant une même normale, qu’entre les carrés des demi-diamètres d’une ligne du second ordre pourvue d’un centre On pourra donc conclure du Théorème I, le théorème suivant dû à M. Ampère.
Un angle droit dièdre étant assujetti à avoir son arête dirigée suivant la normale en un point fixe d’une surface courbe, quelle que soit d’ailleurs la position de cet angle dièdre autour de cette normale, la somme des inverses des rayons de courbure des sections, déterminées par ses deux faces, pris avec leurs signes, sera une quantité constante.
Le Théorème II conduirait à une proposition analogue, relativement à la géométrie de l’étendue hétérogène, signalée par M. Gergonne (Annales, tom. XVII, pag. 136), géométrie pour laquelle il existe un théorème qui correspond exactement à celui de M. Dupin.
