Pour trouver les longueurs des segmens
des axes des
des
et des
interceptés par la courbe, à partir de l’origine, il faudra faire tour à tour, dans cette équation,
et
et
et
ce qui donnera pour déterminer
les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(A\alpha ^{2}+B\alpha '^{2}+C\alpha ''^{2}\right)a^{2}=D,\\&\left(A\beta ^{2}+B\beta '^{2}\,+C\beta ''^{2}\right)b^{2}=D,\\&\left(A\gamma ^{2}+B\gamma '^{2}\ +C\gamma ''^{2}\right)c^{2}=D\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2794abb59e5b22d383c85166a406e6e034587650)
d’où on tirera
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{a^{2}}}={\frac {A\alpha ^{2}+B\alpha '^{2}+C\alpha ''^{2}}{D}},\\\\&{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {A\beta ^{2}+B\beta '^{2}+C\beta ''^{2}}{D}},\\\\&{\frac {1}{c^{2}}}={\frac {A\gamma ^{2}+B\gamma '^{2}+C\gamma ''^{2}}{D}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb8aa9cfed99f4fbdd21c4635f0e45717b637b0)
et par suite
![{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acbd541f8d818196e0aeb1f44492a66386ce978a)
![{\displaystyle A\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)+B\left(\alpha '^{2}+\beta '^{2}+\gamma '^{2}\right)+C\left(\alpha ''^{2}+\beta ''^{2}+\gamma ''^{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21932a3b4303c028afea6d5094418dbb8035423d)
mais il est connu que
![{\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1,\quad \alpha '^{2}+\beta '^{2}+\gamma '^{2}=1,\quad \alpha ''^{2}+\beta ''^{2}+\gamma ''^{2}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44362a9b40d379afcd8cd684e4c9c7eec4ea1f41)
donc, on aura simplement
![{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}={\frac {A+B+C}{D}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eac522d38dd99dec458faf3e8cd28b0ecdc4c6e)
et de là ce théorème :