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Pour trouver les longueurs des segmens $a,b,c$ des axes des $t,$ des $u$ et des $v$ interceptés par la courbe, à partir de l’origine, il faudra faire tour à tour, dans cette équation, $t=a$ et $u=v=0,\ u=b$ et $v=t=0,v=c$ et $t=u=0,$ ce qui donnera pour déterminer $a,b,c$ les équations

${\begin{aligned}&\left(A\alpha ^{2}+B\alpha '^{2}+C\alpha ''^{2}\right)a^{2}=D,\\&\left(A\beta ^{2}+B\beta '^{2}\,+C\beta ''^{2}\right)b^{2}=D,\\&\left(A\gamma ^{2}+B\gamma '^{2}\ +C\gamma ''^{2}\right)c^{2}=D\,;\end{aligned}}$

d’où on tirera

${\begin{aligned}&{\frac {1}{a^{2}}}={\frac {A\alpha ^{2}+B\alpha '^{2}+C\alpha ''^{2}}{D}},\\\\&{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {A\beta ^{2}+B\beta '^{2}+C\beta ''^{2}}{D}},\\\\&{\frac {1}{c^{2}}}={\frac {A\gamma ^{2}+B\gamma '^{2}+C\gamma ''^{2}}{D}}\,;\end{aligned}}$

et par suite

${\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}=$

$A\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)+B\left(\alpha '^{2}+\beta '^{2}+\gamma '^{2}\right)+C\left(\alpha ''^{2}+\beta ''^{2}+\gamma ''^{2}\right)\,;$

mais il est connu que

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1,\quad \alpha '^{2}+\beta '^{2}+\gamma '^{2}=1,\quad \alpha ''^{2}+\beta ''^{2}+\gamma ''^{2}=1\,;$

donc, on aura simplement

${\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}={\frac {A+B+C}{D}}\,;$

et de là ce théorème :