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points de contact avec les cercles cherchés ; alors les perpendicu, laires élevées à cette droite par ces deux points couperont la perpendiculaire sur le milieu de la droite qui joint les deux points donnés aux centres de ces mêmes cercles

3. Occupons-nous présentement de la recherche des cercles qui touchent trois cercles donnés. Soient les équations de ces trois cercles.

${\begin{aligned}(x-a\ \,)^{2}+(y-b\ \,)^{2}&=r^{2},\\\\(x-a'\,)^{2}+(y-b'\,)^{2}&=r'^{2},\\\\(x-a'')^{2}+(y-b'')^{2}&=r''^{2}\,;\end{aligned}}$

soient trois autres cercles, concentriques avec ceux-là, ayant des rayons respectivement égaux aux leurs, augmentés d’une même longueur quelconque $\mathrm {R} ,$ positive ou négative. Les équations de ces nouveaux cercles seront

${\begin{aligned}(x-a\ \,)^{2}+(y-b\ \,)^{2}&=(r+R)^{2},\\\\(x-a'\,)^{2}+(y-b'\,)^{2}&=(r'+R)^{2},\\\\(x-a'')^{2}+(y-b'')^{2}&=(r''+R)^{2}.\end{aligned}}$

On obtiendra les équations des axes radicaux de ces derniers cercles en prenant les différences de leurs équations deux à deux. Supposons, pour plus de simplicité, qu’on ait pris pour origine des coordonnées le centre radical des trois cercles primitifs ; on aura alors

$r^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right)=r'^{2}-\left(a'^{2}+b'^{2}\right)=r''^{2}-\left(a''^{2}+b''^{2}\right),$

et en conséquence les équations des axes radicaux des trois nouveaux cercles, pris tour à tour deux à deux, seront