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${\frac {1}{a^{2}}}={\frac {A\alpha ^{2}+B\alpha '^{2}}{C}},\qquad {\frac {1}{b^{2}}}={\frac {A\beta ^{2}+B\beta '^{2}}{C}}$

et par suite

${\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {A\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)+B\left(\alpha '^{2}+\beta '^{2}\right)}{C}}\,;$

mais, il est connu que

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}=1,\qquad \alpha '^{2}+\beta '^{2}=1\,;$

donc, on aura simplement

${\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {A+B}{C}}\,;$

et de là ce théorème :

THÉORÈME I. Dans toutes les lignes du second ordre qui ont un centre, la somme des quarrés des inverses de deux demi-diamètres perpendiculaires l’un à l’autre est une quantité constante.

L’équation, en coordonnées rectangulaires, de toute surface du second ordre pourvue d’un centre, est réductible à la forme

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}D,\qquad$(1)

dans laquelle $A,B,C,D$ représentent non seulement les valeurs absolues, mais encore les signes des coefficiens.

Si l’on veut passer du système primitif à un autre système rectangulaire de même origine, il faudra poser

$x=\alpha t+\beta u+\gamma v,\quad y=\alpha 't+\beta 'u+\gamma 'v,\quad z=\alpha ''t+\beta ''u+\gamma ''v\,;$ (2)

ce qui donnera, en substituant,

$A(\alpha t+\beta u+\gamma v)^{2}+B(\alpha 't+\beta 'u+\gamma 'v)^{2}+C(\alpha ''t+\beta ''u+\gamma ''v)^{2}=D.\$ (3)