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GÉOMÉTRIE DES LIGNES ET SURFACES COURBES.

Démonstration de deux théorèmes ;

Par un Abonné.

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L’équation en coordonnées rectangulaires de toute ligne du second ordre, pourvue d’un centre, est réductible à la forme

$Ax^{2}+By^{2}=C,\qquad$(1)

dans laquelle $A,B,C$ représentent non seulement les valeurs absolues, mais encore les signes des coefficiens.

Si l’on veut passer du système primitif à un autre système rectangulaire de même origine, il faudra poser,

$x=\alpha t+\beta u,\qquad y=\alpha 't+\beta 'u,\qquad$(2)

ce qui donnera, en substituant,

$A(\alpha t+\beta u)^{2}+B(\alpha 't+\beta 'u)^{2}=C.\qquad$(3)

Pour trouver les longueurs $a$ et $b$ des segmens des axes des $t$ et des $u$ interceptés par la courbe, à partir de l’origine, il faudra faire, tour à tour, dans cette équation, $t=a,\ u=0$ et $u=b,\ t=0,$ ce qui donnera, pour déterminer $a$ et $b$, les équations

$\left(A\alpha ^{2}+B\alpha '^{2}\right)a^{2}=C,\qquad \left(A\beta ^{2}+B\beta '^{2}\right)b^{2}=C,$

d’où on tirera