Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/376

points $(A,B),\ (A',B'),$ tandis que les deux dernières sont celles de deux cordes menées d’un autre point également quelconque de la courbe aux deux points $(A,B'),\ (A',B).$

On peut donc considérer ces quatre cordes, et les deux côtés opposés $A,A'$ du quadrilatère, comme les côtés d’un hexagone quelconque inscrit, et alors les couples de côtés respectivement opposés de cet hexagone seront donnés par les couples d’équations

$\left\{{\begin{aligned}A\ &=0,\\A'&=0,\end{aligned}}\right.\quad \left\{{\begin{aligned}\gamma A+\ bB\,&=0,\\aA'+\gamma 'B&=0,\end{aligned}}\right.\qquad \left\{{\begin{aligned}aA'+\gamma B'&=0,\\\lambda 'A+bB'&=0,\end{aligned}}\right.$

lesquelles détermineront aussi conséquemment les points de concours de ces couples de côtés opposés ; or, il est visible que l’équation

$\gamma \gamma 'A-abA'=0,$

est également satisfaite par chacune de ces couples en particulier ; donc, cette dernière équation est celle d’une droite qui contient les points de concours des directions des côtés opposés. De là, et par la théorie des polaires réciproque, on conclura ces deux théorèmes si connus et si féconds en belles conséquences :

12. THÉORÈME. Dans tout hexagone inscrit à une conique, les points de concours des directions des côtés opposés appartiennent tous trois à une même droite.

12. THÉORÈME. Dans tout hexagone circonscrit à une conique, les droites qui joignent les sommets opposés concourent toutes trois en un même point.

On ne doit pas perdre de vue, dans l’application de ces théorèmes, que les six mêmes points, pris sur une ligne du second ordre, peuvent être les sommets de soixante hexagones inscrits, et que les six mêmes tangentes à cette courbe peuvent être les côtés de soixante hexagones circonscrits, et que les deux théorèmes que nous venons de démontrer ont lieu également pour tous. Faute