Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/373

$(m+\mu )(m'\mu '-m''\mu '')$

$={\frac {(PU-QT)}{(Pa+Qb)(Pa'+Qb')(Pa''+Qb'')}}(Ra+Sb)(a'b''-b'a'')\,;$

ou, pour abréger,

$(m+\mu )(m'\mu '-m''\mu '')=V(Ra+Sb)(a'b''-b'a''),$

on trouvera de même

${\begin{aligned}&(m'+\mu ')(m''\mu ''-m\mu )=V(Ra'+Sa'b)(a''b-b''a),\\\\&(m''+\mu '')(m\mu -m'\mu ')=V(Ra''+Sb'')(ab'-ba')\,;\end{aligned}}$

d’où on conclura, sur-le-champ,

$(m+\mu )(m'\mu '-m''\mu '')+(m'+\mu ')(m''\mu ''-m\mu )$

$+(m''+\mu '')(m\mu -m'\mu ')=0\,;$

équation qui exprime (Annales, tom. XVII, pag. 183) que les six points d’intersection sont en involution. En remarquant donc que l’axe des $x$ est ici une transversale quelconque, et en invoquant le principe des polaires réciproques, on aura ces deux théorèmes :

7. THÉORÈME. Trois coniques circonscrites à un même quadrilatère coupent toute droite en six points qui forment une involution[1].

7. THÉORÈME. Les six tangentes menées d’un même point quelconque à trois coniques inscrites à un même quadrilatère forment un faisceau en involution.

On peut prendre pour une des coniques le système de deux côtés opposés du quadrilatère, ou bien on peut prendre pour deux des coniques les deux systèmes de côtés opposés. On peut enfin pren-

1. C’est l’élégant théorème de M. Sturm (Annales, tom. XVII, pag. 182).
   J. D. G.