dans (2), lorsqu’on était parvenu au terme ; mais comme le signe du dernier terme de (3) est contraire à celui du terme tandis que le signe du dernier terme de (2) est semblable à celui du terme il s’ensuit que, finalement, parvenu au dernier terme de (3), on aura rencontré tout au moins une variation de plus qu’on n’en avait rencontré dans (2) lorsqu’on était parvenu à son dernier terme, c’est-à-dire, en d’autres termes, que dans il y a tout au moins une variation de plus qu’il ne s’en trouve dans
Par une raison tout à fait semblable, il y aura tout au moins dans une variation de plus qu’on n’en rencontre dans et par suite deux de plus que n’en offre ; il y aura de même dans tout au moins une variation de plus qu’il ne s’en trouve dans et, par suite, tout au moins trois de plus que n’en renferme et ainsi de suite ; de sorte que, finalement, le premier membre de la proposée (1) devra offrir au moins autant de variations que cette équation a de racines positives.
Si la proposée n’avait ni racines négatives ni racines imaginaires, cela reviendrait à supposer et la proposition à laquelle nous venons de parvenir subsisterait dans toute sa force.
Soit présentement une équation en , de degré quelconque, ayant aussi ou du moins pouvant avoir des racines négatives et des racines imaginaires. Supposons cette équation complète ou du moins rendue telle, si elle ne l’est pas, par la restitution des termes qui manquent, affectés du coefficient zéro ; auquel on pourra donner d’ailleurs quel signe on voudra.
Soit ensuite changé, dans cette équation, les signes de tous les termes de rangs pairs, il en résultera une transformée qui, d’après ce qui précède, aura au moins autant de variations que de racines positives ; mais les racines de cette équation transformée ne sont autre chose que celle de la proposée prise en signes contraires ; donc ou pourra dire aussi que cette transformée aura au
