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le premier terme positif qui se présente à la suite de celui-là ; soit $-Qx^{q}$ le premier terme négatif qui le suit, et ainsi du reste. Soit $\pm Ux^{u}$ le premier des termes consécutifs qui ont tous le même signe jusqu’au dernier inclusivement ; et soit $\pm V$ ce dernier terme, on aura ainsi

$X=Mx^{m}+\ldots -Nx^{n}-\ldots +Px^{p}+\ldots -Qx^{q}-\ldots$

$\pm Ux^{u}\pm \ldots \pm V\,;\quad$(2)

$M,N,P,Q,\ldots U,V$ étant des nombres positifs quelconques, et $m,n,p,q,\ldots u$ des nombres entiers continuellement décroissans. Si l’on multiplie le polynôme $X$ par $x-\alpha ,$ et qu’on ordonne le produit par rapport à $x$, le premier terme du produit sera $Mx^{m+1}.$ Il est manifeste, en outre, que le terme en $x^{n+1}$ sera négatif, que le terme en $x^{p+1}$ sera positif, que le terme en x^{q+1} sera négatif, et ainsi de suite. Quant au terme en x^{u+1} son signe sera le même que celui du terme en $x^{u}$ dans $X,$ et le dernier terme sera $\mp \alpha V$ ; de sorte qu’on aura

$X(x-\alpha )=Mx^{m+1}+\ldots -N'x^{n+1}-\ldots +P'x^{p+1}+\ldots$

$-Q'x^{q+1}-\ldots \pm U'x^{u+1}\ldots \mp \alpha V\,;\quad$(3)

$N',P',Q',\ldots U'$ étant des nombres positifs quelconques.

Quant aux termes intermédiaires, sous entendus, leurs signes dépendront, dans chaque cas particulier, de la valeur numérique des coefficiens ; mais, quels qu’ils soient, on voit que, tandis que parvenu au terme $-Nx^{n}$ de (2), on avait rencontré une seule variation ; on en aura rencontré une au moins, quand on sera parvenu au terme $-N'x^{n+1}$ de (3) ; que, tandis que parvenu au terme $+Px^{p}$ de (2), on avait rencontré deux variations ; on en aura rencontré deux au moins, quand on sera parvenu au terme $+P'x^{p+1}$ de (3) ; que, tandis que parvenu au terme $-Qx^{q}$ de(2), on avait rencontré trois variations ; on en aura rencontré trois au moins, quand on sera parvenu au terme $-Q'x^{q+1}$ de (3), et ainsi de suite ; de sorte que, parvenus au terme $\pm U'x^{u+1}$ de (3), on aura rencontré autant de variations au moins qu’on en avait rencontré