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ainsi toutes les fois que deux des quatre droites (11), étant dans un même plan, les deux restantes seront aussi dans un même plan.

Mais on voit, en même temps, que, si l’on avait la double équation

$\alpha a=\beta b=\gamma c,\qquad$(13)

les quatre droites concourraient dès lors en un seul et même point. C’est le cas où les quatre droites (11) sont dans un même plan, et où l’équation (7) prend la forme (14). En représentant, comme alors, par $k^{2}$ chacun des produits (13), le point de concours de nos quatre droites (17) sera donné par la triple équation

$bcA=caB=abC=k^{2}D.\qquad$(18)

Trois quelconques des quatre droites (17) déterminant une surface gauche du second ordre, et l’on peut se proposer de connaître dans quel cas la quatrième droite se trouvera aussi sur cette surface. En cherchant, par exemple, l’équation de la surface gauche déterminée par les trois premières, on trouve

$\left.{\begin{aligned}&(\beta b-\gamma c)(\beta b+\gamma c\ -\alpha a)(aBC+\alpha AD)\\+&(\gamma c-\alpha a)(\gamma c+\alpha a-\beta b)(bCA+\beta BD)\\+&(\alpha a-\beta b)(\alpha a+\beta b-\gamma c)(cAB+\gamma CD)\end{aligned}}\right\}=0\,;\quad$(19)

or, il est facile de s’assurer que cette équation est aussi satisfaite par la dernière des doubles équations (17), ce qu’atteste d’ailleurs la symétrie qu’on y remarque, d’où l’on doit conclure que les quatre droites (17), comme les quatre droites (11), appartiennent généralement à une seule et même surface gauche du second ordre. On a donc ce théorème :

THÉORÈME. Si deux tétraèdres sont l’un inscrit et l’autre circonscrit à une même surface quelconque du second ordre, de telle sorte que les sommets de l’inscrit soient les points de contact