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${\frac {a}{A}}+{\frac {b}{B}}+{\frac {c}{C}}=0,$

dans laquelle $a,b,c$ sont des constantes indéterminées ; le triangle circonscrit à cette courbe, ayant ses points de contact aux sommets de l’inscrit, a pour équation

$\left({\frac {B}{b}}+{\frac {C}{c}}\right)\left({\frac {C}{c}}+{\frac {A}{a}}\right)\left({\frac {A}{a}}+{\frac {B}{b}}\right)=0\,;$

les points de concours des côtés de l’inscrit avec leurs opposés respectifs dans le circonscrit appartiennent tous trois à une même droite, donnée par l’équation

${\frac {A}{a}}+{\frac {B}{b}}+{\frac {C}{c}}=0\,;$

enfin, les droites qui joignent les sommets du circonscrit à leurs opposés respectifs dans l’inscrit concourent toutes trois en un même point donné par la double équation

${\frac {A}{a}}={\frac {B}{b}}={\frac {C}{c}}.$

Soient posés

$bC+cB=A',\quad cA+aC=B',\quad aB+bA=C'\,;$

on en tirera

$A={\frac {bB'+cC'-aA'}{2bc}},\quad B={\frac {cC'+aA'-bB'}{2ca}}\quad C={\frac {aA'+bB'-cC'}{2ab}}\,;$

substituant ces valeurs dans les équations (1, 5, 7, 9, 10), et supprimant ensuite les accens devenus pour lors inutiles, on parviendra aux conclusions suivantes.