Si, dans le premier de ces deux théorèmes, on suppose que la transversale passe à l’infini, on obtiendra ce théorème connu :
42. Les milieux des diagonales d’un quadrilatère complet appartiennent tous trois à une même droite.
Il est facile de voir que, si plusieurs coniques homothétiques passent par les deux mêmes points, et qu’on les coupe toutes par une autre conique qui leur soit homothétique, les cordes d’intersection passeront par un même point et auront leurs pôles respectifs, relatifs à ces coniques, sur une même nouvelle conique. On conclut de là ces deux théorèmes :
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43. Tant de coniques qu’on voudra étant inscrites à un quadrilatère, si on les coupe toutes par une autre conique, tangente à deux des côtés de ce quadrilatère, et qu’on détermine les points de concours des deux autres tangentes communes à cette dernière conique et à chacune des premières ; 1.o tous ces points de concours appartiendront à une même droite ; 2.o leurs polaires respectives, relatives aux coniques proposées, envelopperont toutes une nouvelle conique. |
43. Tant de coniques qu’on voudra étant circonscrites à un même quadrilatère, si on les coupe toutes par une autre conique, passant par deux des sommets de ce quadrilatère, et qu’on mène des droites par les deux autres points communs à cette dernière conique et à chacune des premières ; 1.o toutes ces cordes communes concourront en un même point ; 2.o leurs pôles respectifs, relatifs aus coniques proposées, appartiendront tous à une nouvelle conique. |
On pourrait déduire de nouveau de ces deux derniers théorèmes la quatrième partie de ceux que nous avons énoncé plus haut (39) ; mais cela nous entraînerait dans des détails de peu d’intérêt.
Enfin, si plusieurs coniques homothétiques passent par les deux mêmes points, et qu’on les coupe par deux autres coniques qui
