Si, dans le système de coniques homothétiques, on prend pour sommet commua des angles circonscrits, le centre même de laconique directrice, les cordes de contact auront, pour pôles relatifs à cette conique directrice, les centres des coniques inscrites au quadrilatère ; et alors la troisième partie du théorème deviendra cette proposition connue de Newton :
40. Les centres de toutes les coniques qui ont deux centres d’homologie communs appartiennent à une même droite qui passe par le milieu de celle qui joint ces deux centres d’homologie.
On parvient "encore à cette proposition, en supposant, dans la troisième partie du théorème, que la transversale passe à l’infini.
La troisième partie de l’un et de l’autre théorèmes contient implicitement une propriété assez remarquable du système de quatre droites ou de celui de quatre points, qui paraît n’avoir point encore été signalée ; voici en quoi elle consiste :
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41. Six points étant distribués trois à trois aux intersections de quatre droites, et ceux qui n’appartiennent pas à la même droite étant joints deux à deux par trois droites ; toute transversale coupera ces dernières en trois points tels que leurs quatrièmes harmoniques appartiendront toutes trois à une même droite. En outre cette dernière droite et la transversale formeront un faisceau harmonique avec les droites qui iront de leur point de concours aux deux extrémités de l’une quelconque de nos trois droites. |
41. Six droites passant trois à trois par quatre points donnés, et celles qui ne passent pas par le même point concourant deux à deux en trois autres points ; si de chacun de ces points on mène trois droites à un même point quelconque de leur plan, les quatrièmes harmoniques de ces droites concourront toutes trois en un même point. En outre, la droite qui joindra ce dernier point au premier sera coupée harmoniquement par les deux droites qui passent par l’un quelconque de nos trois points. |
