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Il faut pourtant excepter le cas où le point donné serait un point commun aux deux courbes, car alors la construction se trouverait en défaut. |
Il faut pourtant excepter le où la droite donnée serait une tangente commune aux deux courbes, car alors la construction serait en défaut. |
La raison analitique de ce fait, est qu’alors le point donné ou la droite donnée se trouvant appartenir à la fois aux trois couples d’axes de symptose ou de centres d’homologie conjugués, le problème doit alors s’élever au troisième degré, et n’être plus dès lors résoluble avec la ligne droite et le cercle. Le cas où, au contraire, le problème se résout par les élémens, doit répondre à quelque circonstance particulière dans les équations du troisième degré.
24. Les axes de symptose de deux coniques, sont des lignes fort importantes, puisqu’elles font connaître les points d’intersection des deux courbes, et que ces points d’intersection donnent la solution de tout problème déterminé qui admet plus de deux solutions sans en admettre plus de quatre, lors même qu’un tel problème est étranger à la géométrie. On aurait donc beaucoup étendu le domaine de la géométrie, si l’on parvenait à construire, par la ligne droite et le cercle, les axes de symptose de deux coniques ; on saurait alors résoudre les problèmes qui admettent trois et quatre êolutionSj comme ou sait résoudie ceux qui n’en admettent que deux.
25. Algébriquement parlant, chacun des trois systèmes d’axes de symptose est une conique qui passe par les quatre points d’intersection, réels ou imaginaires, des deux courbes proposées. On pourra donc les déterminer comme il suit : Soient les équations des deux courbes l’équation commune à toutes coniques passant par les quatre mêmes points sera ; et il s’agira de déterminer de telle sorte que le premier membre de cette dernière équation se décompose en deux facteurs rationnels du premier degré, ce qui conduira à une équation du troisième degré
