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4. Je passe, Monsieur, à l’objet principal de cette lettre, qui est de faire une application spéciale de la théorie des polaires réciproques aux propriétés des coniques confocales.

Une des plus caractéristiques de ces propriétés, c’est que les deux rayons vecteurs d’un même point font des angles égaux avec la taogente en ce point ; ce qui revient encore à dire que les rayons vecteurs, menés d’un même foyer aux points de contact de deux tangentes parallèles, font des angles respectivement égaux avec ces tangentes. C’est cette propriété qui va nous faire découvrir la nature de la polaire réciproque d’un cercle relative à un autre cercle.

La courbe polaire, d’un cercle $\mathrm {C,}$ relative à un cercle directeur $\mathrm {D,}$ aura son centre (1) sur la droite qui joint les centres des deux cercles $\mathrm {C}$ et $\mathrm {D}$ ; et cette droite sera un diamètre principal de $\mathrm {P,}$ puisque tout est égal de part et d’autre.

Deux tangentes au cercle $\mathrm {C}$ ont pour pôles deux points de sa polaire $\mathrm {P,}$ et les tangentes à cette courbe en ces points ont pour pôles les deux points de contact sur $\mathrm {C.}$ La corde qui joint ces deux points a pour pôle l’intersection des deux tangentes à $\mathrm {P.}$ Les trois rayons menés du centre de $\mathrm {D,}$ aux deux points de contact sur $\mathrm {P}$ et au point de concours des tangentes en ces points sont perpendiculaires sur les deux tangentes à $\mathrm {C}$ et sur la corde de contact ; or, cette corde fait des angles égaux avec les deux tangentes ; le troisième rayon fait donc aussi des angles égaux avec les deux autres. La polaire réciproque $\mathrm {P}$ d’un cercle $\mathrm {C}$ jouit donc de cette propriété que, si, par le centre du cercle directeur $\mathrm {D,}$ on mène des rayons vecteurs à deux de ses points, et un troisième au point de concours des tangentes en ces deux points, ce dernier fera des angles égaux avec les deux autres. Donc, si les deux tangentes sont parallèles, le troisième rayon leur sera parallèle, et fera des angles égaux avec les rayons menés aux points de contact ; donc, si deux tangentes à la polaire, de $\mathrm {C}$ sont parallèles, les rayons menés du centre du cercle directeur $\mathrm {D}$ aux points de contact feront des angles égaux avec les deux tangentes ; or, c’est là la pro-