d’autant plus d’empressement que, comme j’ai eu l’honneur de vous le dire à mon passage à Montpellier, je m’étais aussi occupé, et il y a même fort long-temps, de la transformation des surfaces en d’autres surfaces, au moyen d’une surface auxiliaire du second ordre, c’est-à-dire, des surfaces polaires, comme les a appelées M. Poncelet, dans son ouvrage si remarquable sur les propriétés projectives des figures. J’avais été conduit à ces recherches en m’occupant d’un travail bien étranger aux surfaces du second ordre. Je me suis souvent servi de la transformation polaire ; mais c’est surtout pour la transformation des relations métriques que je l’ai trouvée utile ; car, dans beaucoup d’autres questions, telles par exemple que celle de la transformation des surfaces qui ont la même intersection en surfaces inscrites d’une même développable, il est une infinité d’autres manières de parvenir au but. Mais je dois dire que l’examen spécial du cas où l’on prend une sphère pour surface auxiliaire avait été étranger à mes recherches, et ne m’a été inspiré que par la lecture de l’analyse du mémoire présenté à l’institut par M. Poncelet en 1824 (Annales, tom. XVII, pag. 265). C’est cette lecture qui m’a fait reprendre des recherches géométriques interrompues depuis bien des années. J’ai pensé que M. Poncelet avait dû employer une sphère pour surface auxiliaire ; et, en effet, ce moyen qui s’est présenté aussi à la pensée de M. Bobillier m’a conduit à un grand nombre de résultats curieux. Je me hâte de consigner ici ceux de ces résultats qui sont relatifs à la
diamétraux parallèles seront les conjugués ; 4.o si l’on change la direction commune de ces plans diamétraux parallèles, la courbe à double courbure décrira une surface du troisième degré ; 5.o enfin, cette surface sera le lieu des centres de toutes les surfaces initiales.
II. Tant de surfaces du second ordre qu’on voudra étant inscrites à un même corps octoèdre, 1.o leurs centres sont situés sur une même droite ; 2.o leurs plans diamétraux conjugués à des diamètres parallèles touchent tous une seule et même surface de troisième classe.
