Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/277

$a\left[{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}\right]+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}-\beta$

$\left\{a\left[{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}.{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}\right]+{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}.{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}.{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} z}}\right\}=0,$

représentera une surface qui contiendra cette courbe polaire ; mais il est visible que cette surface contiendra aussi la courbe à double courbure (4). Donc, cette courbe polaire et la courbe 4) se coupent en $2(m-1)^{3}$ points. Ainsi, les courbes polaires de la droite située à l’infini dont il a été question ci-dessus coupent individuellement en $2(m-1)^{3}$ points la courbe à double courbure dont il est question à l’endroit cité.

Enfin, l’équation (2) fait voir que les points polaires d’un plan situé à l’infini, relatifs à la directrice (1), sont déterminés par les trois équations

${\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+\beta {\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}=0,\\\\&{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}+\beta {\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}=0,\\\\&{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}+\beta {\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} z}}=0\,;\end{aligned}}$

mais, en éliminant $\alpha$ et $\beta$ entre elles, on retombe de nouveau sur l’équation (5) ; donc, les points polaires d’un plan situé à l’infini sont tous situés sur la surface du $\left[3(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré dont il a été question ci-dessus.

En généralisant ces résultats, par la théorie des projections, et en les doublant pur la théorie des polaires réciproques, on obtiendra les théorèmes suivans :

THÉORÈME III. Tant de surfaces du $m.^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré qu’on voudra passant toutes par les $m^{3}$ mêmes points fixes ; 1.o les surfaces polaires de l’un quelcon-

THÉORÈME III. Tant de surfaces de $m.^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ classe qu’on voudra ayant toutes les $m^{3}$ mêmes plans tangens fixes ; 1.o les surfaces polaires d’un plan quel-