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équations du $\left[2(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré qui ne doivent compter que pour deux seulement. Ainsi, lorsqu’un point situé à l’infini décrit une droite également située à l’infini, les $(m-1)^{3}$ points communs aux surfaces polaires de ce point relatives à toutes les surfaces de $m.^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré, qui passent toutes par les $m^{3}$ mêmes points fixes, engendrent, dans leur mouvement, une courbe à double courbure, intersection de deux surfaces du $\left[2(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré.

Imaginons que $a$ soit aussi variable, et éliminons cette quantité entre deux des équations (4) ; ce qui revient, au surplus, à éliminer $a$ et $b$ entre les équations (3), nous aurons ainsi

${\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}.{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} z}}-{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}.{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}$

$-{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}.{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}.{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}=0\,;$(5)

équation du $\left[3(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré. Ainsi, lorsqu’une droite située à l’infini décrit un plan également situé à l’infini, la courbe à double courbure, intersection de deux surfaces du $\left[2(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré, lieu des points communs aux surfaces polaires des divers points de cette droite, relatives à toutes les surfaces du $m.^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré qui passent par les $m^{3}$ mêmes points fixes, engendre, dans son mouvement, une surface du $\left[3(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré.

En écrivant l’équation (2) sous la forme

$a\left\{{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+\beta {\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}\right\}+b\left\{{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}+\beta {\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}\right\}$

$+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}+\beta {\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} z}}=0\,;$ (6)

on voit de suite que la courbe polaire de la droite située à l’infini, dans le plan $x=az$, par rapport à la surface (1) a pour ses équations

$\left.{\begin{array}{lc}&a\left\{{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+\beta {\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}\right\}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}+\beta {\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} z}}=0,\\\\&{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}+\beta {\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}=0\,;\end{array}}\right\}$ (7)

chassant la variable $\alpha$, l’équation résultante