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Différentiant cette équation, en remplaçant respectivement les coefficiens différentiels ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}$ et ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}$ par $a$ et $b$, l’équation résultante

$a{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+b{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}+\alpha \left\{a{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+b{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}\right\}$

$+\beta \left\{a{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}+b{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} z}}\right\}=0,\qquad$(2)

représentera la surface du $(m-1).^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré, lieu de la ligne de contact de la surface (1) avec la surface cylindrique circonscrite ayant ses élémens rectilignes parallèles à la droite fixe donnée par les deux équations $x=az$ et $yr=-bz.$

Or, quelles que soient les valeurs assignées aux deux constantes indéterminées $\alpha$ et $\beta ,$ cette surface contient évidemment les $(m-1)^{3}$ points d’intersection des surfaces données par les trois équations

$\left.{\begin{aligned}&a{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}\ \,+b{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}\ \,+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}\ \,=0,\\\\&a{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}\,+b{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}\,+{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}\,=0,\\\\&a{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}+b{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} z}}=0.\end{aligned}}\right\}\quad$(3)

Donc, les surfaces polaires d’un point situé à l’infini, relatives à tant de surfaces qu’on voudra du $m.^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré, passant toutes les $m^{3}$ mêmes points fixes, passent elles-mêmes par les $(m-1)^{3}$ mêmes points fixes.

Si l’on imagine que $a$ reste constante et que $b$ varie, ces $(m-1)^{3}$ points décriront une courbe dont on obtiendra les équations en éliminant $b$ entre les équations (3), ce qui donnera

$\left.{\begin{aligned}&a\left\{{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}\ \ -{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}\right\}\ +{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}\ \ -{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}.{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}=0,\\\\&a\left\{{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}\right\}+{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}.{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} z}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}=0,\\\\&a\left\{{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}\ \ -{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}\right\}\,+{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} z}}.{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}\ \ -{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}.{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}=0\,;\end{aligned}}\right\}$ (4)