Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/273

$\left[2(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré ; 4.o si cette droite décrit un plan, les surfaces correspondantes du $\left[2(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré se couperont toutes suivant une même courbe à double courbure ; 5.o enfin, cette courbe à double courbure contiendra les points polaires du plan décrit par cette droite.

crites à cette même surface de $\left[2(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ classe ; 4.o si cette droite tourne autour de l’un de ses points, les surfaces correspondantes de $\left[2(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ classe, seront toutes circonscrites à une même surface développable ; 5.o enfin, cette surface développable touchera tous les plans polaires du point autour duquel cette droite aura tourné.

Dans la supposition particulière de $m=2,$ on déduira de ces théorèmes les corollaires suivans :

Corollaire. Tant de surfaces du second ordre qu’on voudra, se coupant suivant les mêmes courbes planes ou à double courbure ; 1.o les plans polaires d’un point quelconque de l’espace, relatifs à toutes ces surfaces se couperont tous suivant la même droite ; 2.o si ce point parcourt une droite, l’intersection des plans polaires engendrera, dans son mouvement, une surface gauche ou développable du second ordre ; 3 ° les polaires conjuguées de cette droite seront toutes situées sur cette surface ; 4.o si cette droite décrit un plan, les surfaces gauches ou développables du second ordre correspondantes se couperont toutes suivant une même courbe à double

Corollaire. Tant de surfaces du second ordre qu’on voudra, étant inscrites à une même surface développable ; 1.o les pôles d’un plan quelconque, relatifs à toutes ces surfaces, sont tous situés sur une même droite ; 2.o si ce plan tourne autour d’une droite, la droite, lieu des pôles, engendrera dans son mouvement, une surface gauche ou développable du second ordre ; 3.o les polaires conjuguées de cette droite seront toutes situées sur cette surface ; 4.o si cette droite tourne autour d’un de ses points, les surfaces gauches ou développablesdu second ordre correspondantes envelopperont toutes une même surface développable ; 5.o enfin, cette surface dé-