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sur la surface du $\left[2(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré dont il a été question ci-dessus.

On conçoit également que les pôles d’un plan situé à l’infini, relatifs à la surface (1), sont donnés par les trois équations

{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}=0\,;

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or, par l’élimination de $\alpha$ entre elles, on retombe de nouveau sur les équations (6) ; donc, les pôles d’un plan situé à l’infini, relatifs à plusieurs surfaces du $m.^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré, ayant les mêmes intersections, se trouvent sur la courbe à double courbure, intersection des surfaces du $\left[2(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré dont il a été question ci-dessus.

En généralisant ces diverses propositions, au moyen de la théorie des projections, et en leur joignant celles que la théorie des polaires réciproques permet ensuite d’en déduire, on obtiendra les théorèmes suivans :

THÉORÈME II. Tant de surfaces du $m.^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré qu’on voudra se coupant toutes suivant les mêmes courbes à double courbure, 1.^o les surfaces polaires d’un point quelconque de l’espace, relatives à toutes celles-là, se coupent toutes suivant une même courbe à double courbure ; 2.^o si ce point parcourt une droite, la courbe à double courbure engendrera, dans son mouvement, une surface du $\left[2(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré ; 3.^o les courbes polaires de cette droite seront situées sur cette même surface du

THÉORÈME II. Tant de surfaces de $m.^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ classe qu’on voudra, étant toutes inscrites à une même surface développable, 1.^o les surfaces polaires d’un plan quelconque, relatives à toutes celles-là sont toutes inscrites à une autre surface développable ; 2.^o si ce plan tourne autour d’une droite, cette dernière surface développable sera mue de manière à envelopper constamment une surface fixe de $\left[2(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ classe ; 3.^o les surfaces développables polaires de cette droite seront toutes circons-