Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/271

$\left.{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}=0,\\\\{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}-{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}.{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}=0,\\\\{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}.{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}=0\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(6)

lesquelles conséquemment appartiennent à une courbe fixe à double courbure, intersection de deux surfaces du $\left[2(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré ; donc, la surface du $\left[2(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré, dont il vient dêtre question ci-dessus, passe constamment par une même courbe fixe, à double courbure, lorsqu’on fait mouvoir la droite située à l’infini dans un plan également situé à l’infini.

En mettant l’équation (2) sous la forme,

$a\left\{{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}\right\}+b\left\{{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}\right\}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}=0,$ (7)

on voit de suite que la courbe polaire de la droite située à l’infini, dans le plan $x=az$, a pour ses équations

$\left.{\begin{array}{lc}&a\left\{{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}\right\}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}=0,\\\\&{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}=0.\end{array}}\right\}\quad$(8)

Si l’on suppose donc que $\alpha$ soit variable, on obtiendra l’équation de la surface engendrée par cette courbe, en éliminant $\alpha$ entre ces deux équations, ce qui conduira de nouveau à l’équation (4). Ainsi, les courbes polaires de la droite dont il s’agit sont situées