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Or, cette surface (1), quelle que soit la constante $\alpha$, contient les intersections des deux surfaces du $(m-1).^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré

$a{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+b{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}=0,\quad a{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+b{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}=0\,;\quad$(3)

donc, les surfaces polaires d’un point situé à l’infini, relatives à tant de surfaces qu’on voudra du $m.^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré, se coupant suivant les mêmes courbes à double courbure, se coupent toutes aussi suivant les mêmes courbes à double courbure, intersections de deux surfaces du $(m-1).^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré.

Supposons que, la quantité $a$ restant constante, on fasse varier l’autre $b$ ; la courbe à double courbure dont il s’agit engendrera une surface courbe dont on aura l’équation en éliminant $b$ entre les, deux équations (3), ce qui donnera

$a\left\{{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}\right\}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}.{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}=0.$ (4)

Ainsi les courbes à double courbure suivant lesquelles diverses surfaces du $m.^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré, ayant les mêmes intersections, sont coupées par les surfaces polaires des points d’une droite située à l’infini, appartiennent toutes à une surface unique du $\left[2(m-1)\right].^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }$ degré.

Si, au lieu de faire varier $b$, on fait varier $a$ ; l’équation (4) sera remplacée par celle-ci

$b\left\{{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}.{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}\right\}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}.{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}.{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}=0.$ (5)

qui conduirait à des conclusions analogues. Or, il est facile de voir que les équations (4) et (5), quels que soient d’ailleurs $a$ et $b$, sont satisfaites par les trois suivantes, ne comptant que pour deux seulement,